3.1 一阶逻辑的基本概念

个体：原子命题要判断的事物，用前端小写字母 $a, b, c, \cdots$

个体类：多个个体构成的整体，用中部大写字母 $F, G, H, \cdots$

谓词：原子命题给出的性质或关系，用类似函数的表示 $P(x)$

个体变量：谓词可能作用的个体，用后端小写字母 $\cdots, x, y, z$

量词：全称量词 $\forall$、存在量词 $\exists$

具体命题：对某个个体进行判断。”个体“ + ”谓词“

量化命题：对个体类进行判断。“量词” + “个体类” + “谓词”

全总域：研究范围内所有个体构成的集合，一般写成 $\forall x$，没有后面的命题

论域：谓词作用的个体变量的取值范围，一般写成 $\forall x H(x)$，有一个后面的命题

特征谓词：描述论域的谓词

**量化命题的符号化：

• 全称量化命题：$\forall x(P(x) \to H(x))$
• 存在量化命题：$\exists x(P(x) \land H(x))$

3.2 一阶逻辑公式的语法

符号集：

一阶逻辑公式的归纳定义：

• 原子公式（归纳基）：谓词作用于项（如：$H(x), H(x, y)$）
• 归纳步 I：否定式 $\lnot A$、合取式 $A \land B$、析取式 $A \lor B$、蕴含式 $A \to B$、双蕴含式 $A \leftrightarrow B$
• 归纳步 II：全称量词公式 $\forall x A$，存在量词公式 $\exists x A$，其中 $x$ 为个体变量， $A$ 为公式
• 优先级：$\forall / \exists$, $\lnot, \land, \lor, \to, \leftrightarrow$

项的归纳定义：

• 归纳基：任何个体常量 $c$ 和任何个体变量 $x$ 都是项
• 归纳步：$f(t_1, t_2, \cdots, t_n)$ 是项，其中 $f$ 是 $n$ 元函数，$t_1, t_2, \cdots, t_n$ 是项

辖域：对于量词公式 $\forall x A$ 或 $\exists x A$，$x$ 为指示变量，$A$ 为该公式的辖域

约束出现和自由出现：

• 若 $x$ 在公式 $A$ 的一处出现是在子公式 $\forall xB$ 或 $\exists x B$ 的辖域 $B$ 中，则此出现是约束出现。
• 若 $x$ 在公式 $A$ 的一处出现不在子公式 $\forall xB$ 或 $\exists x B$ 的辖域 $B$ 中，则此出现是约束出现。

自由变量：有一处出现是自由出现

约束变量：所有出现都是约束出现

闭公式 / 句子：没有自由变量的公式

约束变量改名：将量词公式 $\exists x A$ 或 $\forall x A$ 的里面出现的所有指示变量 $x$ 都改成从未出现过的 $y$.（可避免某个个体变量既自由出现，又约束出现，也可避免辖域嵌套）