3.3.1 一阶逻辑公式的解释

语义：如何确定一阶逻辑公式的真值。

一阶逻辑公式的解释 / 模型：设非逻辑符号集是 $\mathcal L$，一阶逻辑公式的解释 $\mathcal M = \langle D, \text{Interpretation} \rangle$ 包括：

论域：非空集合 $D$，表示个体变量的所有可能取值范围。
对于每个个体常量 $c \in \mathcal L$，$\exists \textlbrackdbl c \textrbrackdbl \in D$ 与 $c$ 对应
对于每个 $n$ 元函数 $f \in \mathcal L$，$\exists \textlbrackdbl f\textrbrackdbl \in D$ 与 $f$ 对应，其中 $\textlbrackdbl f\textrbrackdbl$ 是 $n$ 元函数 $D^n \to D$
对于每个 $n$ 元谓词 $F \in \mathcal L$，$\exists \textlbrackdbl F \textrbrackdbl \in D$ 与 $F$ 对应，其中 $\textlbrackdbl F\textrbrackdbl$ 是 $n$ 元关系 $\textlbrackdbl F\textrbrackdbl \subseteq D^n$（使得 $\textlbrackdbl F\textrbrackdbl$ 为真的所有 $n$ 元 有序组）

个体变量指派函数 $\sigma: V \to D$，表示将个体变量 $x \in V$ 指派为 $\sigma(x) \in D$

对象语言：逻辑学研究的逻辑公式，如命题逻辑公式、一阶逻辑公式

元语言：研究逻辑时使用的语言，如自然语言，对于对象语言的解释

3.3.2 一阶逻辑公式的真值

一阶逻辑公式的真值计算：

项的语义是论域的元素：$t \to \textlbrackdbl t \textrbrackdbl_\sigma \in D$
归纳基：原子公式 $F(t_1, t_2, \cdots t_n)$ 的真值为真，当且仅当 $\langle \textlbrackdbl t_1 \textrbrackdbl_\sigma, \cdots, \textlbrackdbl t_n \textrbrackdbl_\sigma \rangle \in \textlbrackdbl F \textrbrackdbl$
归纳步 I：逻辑运算符的真值计算方式与命题逻辑相同
归纳步 II：
- 个体变量指派函数的变换 $\sigma[x \mapsto d]$ 表示将变量 $x$ 指派为 $d$，其他变量不变。
- $\sigma(\forall x A) = 1$ 当且仅当 $\forall d \in D,\ \sigmax \mapsto d = 1$
- $\sigma(\exists x A) = 1$ 当且仅当 $\exists d \in D,\ \sigmax \mapsto d = 1$

量词公式在有限论域的展开：若 $D = {a_1, a_2, \cdots, a_n}$，则

$\displaystyle \sigma(\forall x A(x)) \equiv \bigwedge_{i = 1}^n \sigmax \mapsto a_i$
$\displaystyle \sigma(\exists x A(x)) \equiv \bigvee_{i = 1}^n \sigmax \mapsto a_i$

对于个体变量指派函数的说明：

如果论域无穷，只能基于量词的语义和论域相关常识，直观确定公式真值。

命题逻辑永真式的替换实例（用一阶逻辑替换命题变量），是一阶逻辑的永真式。